實現(xiàn)對數(shù)學思想和數(shù)學方法的提煉
——我們應(yīng)該做些什么？
成都美視師一學校數(shù)學組 吳娜 郵編：610241
[摘要] 要將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力，不是一件容易的事，老師要引導學生找到一座在知識和能力之間的橋梁，具體如何在教學中得以實現(xiàn)這個目標呢？本文簡述我的一點想法，最重要的便是在教學中對數(shù)學思想和數(shù)學方法的提煉。
[關(guān)鍵詞] 新課程標準 數(shù)學思想 數(shù)學方法 抽象 具體 規(guī)律
[正文]
對數(shù)學思想和數(shù)學方法的提煉的教學，是培養(yǎng)和提高學生素質(zhì)的重要內(nèi)容。新課標突出強調(diào)：“在教學中，應(yīng)當引導學生在學好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學的規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學思想和數(shù)學方法）。”而數(shù)學思想和數(shù)學方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學精髓，是將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力的橋梁。因此這應(yīng)作為新課改中所必須把握的教學要求。
中學數(shù)學知識結(jié)構(gòu)包含了辯證思想的理念，反映出數(shù)學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數(shù)學思想方法之間的相互關(guān)系。數(shù)學實體內(nèi)部各單元之間相互滲透和維系的關(guān)系，升華為具有普遍意義的一般規(guī)律，便形成相對的數(shù)學思想方法，即對數(shù)學知識整體性的理解。數(shù)學思想方法確立后，便超越了具體的數(shù)學概念和內(nèi)容，只以抽象的形式而存在，控制及調(diào)整具體結(jié)論的建立、聯(lián)系和組織，并以其為指引將數(shù)學知識靈活地運用到一切適合的范疇中去解決問題。數(shù)學思想方法不僅會對數(shù)學思維活動、數(shù)學審美活動起著指導作用，而且會對個體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響，形成數(shù)學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學領(lǐng)域向非數(shù)學領(lǐng)域的遷移，實現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍。
可見，良好的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)不完全取決于教材內(nèi)容和知識點的數(shù)量，更應(yīng)注重數(shù)學知識的聯(lián)系、結(jié)合和組織方式，把握結(jié)構(gòu)的層次和程序展開后所表現(xiàn)的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學思想方法能夠優(yōu)化這種組織方式，使各部分數(shù)學知識融合成有機的整體，發(fā)揮其重要的指導作用。因此，新課標明確提出掌握數(shù)學思想方法的教學要求，旨在引導學生去把握數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的核心和靈魂，其重要意義顯而易見。
如何實現(xiàn)對數(shù)學思想和數(shù)學方法的提煉的教學呢？教師應(yīng)該做些什么呢？我的看法有以下幾點：
1、結(jié)合教學大綱，就數(shù)學教材進行思想方法的教學研究
首先，要通過對教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡(luò)，統(tǒng)攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關(guān)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數(shù)學方法—提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數(shù)學思想方法，就能運用它們?nèi)ソ鉀Q成千上萬分解多項式因式的問題。又如：結(jié)合初中代數(shù)的消元、降次、配方、換元方法，以及分類、變換、歸納、抽象和數(shù)形結(jié)合等方法性思想，進一步確定數(shù)學知識與其思想方法之間的結(jié)合點，建立一整套豐富的教學范例或模型，最終形成一個活動的知識與思想互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)。
2、以數(shù)學知識為載體，將數(shù)學思想方法有機地滲透入教學計劃和教案內(nèi)容之中
教學計劃的制訂應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內(nèi)容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數(shù)學教案則要就每一節(jié)課的概念、命題、公式、法則以至單元結(jié)構(gòu)等教學過程進行滲透思想方法的具體設(shè)計。要求通過目標設(shè)計、創(chuàng)設(shè)情境、程序演化、歸納總結(jié)等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在知識的發(fā)生和運用過程中貫徹數(shù)學思想方法，形成數(shù)學知識、方法和思想的一體化。
充分利用數(shù)學的現(xiàn)實原型作為反映數(shù)學思想方法的基礎(chǔ)。數(shù)學思想方法是對數(shù)學問題解決或構(gòu)建所做的整體性考慮，它來源于現(xiàn)實原型又高于現(xiàn)實原型，往往借助現(xiàn)實原型使數(shù)學思想方法得以生動地表現(xiàn)，有利于對其深人理解和把握。例如：分類討論的思想方法和數(shù)形結(jié)合的思想始終貫穿于整個數(shù)學教學中。在教學中要引導學生對所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級），然后逐類討論（即對各類問題詳細討論、逐步解決），最后歸納總結(jié)。教師要幫助學生掌握好分類的方法原則，形成分類思想。
數(shù)學思想方法的滲透應(yīng)根據(jù)教學計劃有步驟地進行。一般在知識的概念形成階段導入概念型數(shù)學思想，如方程思想、相似思想、已知與未知互相轉(zhuǎn)化的思想、特殊與一般互相轉(zhuǎn)化的思想等等。在知識的結(jié)論、公式、法則等規(guī)律的推導階段，要強調(diào)和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數(shù)的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、判定兩個三角形相似有哪些常用思路等。在知識的總結(jié)階段或新舊知識結(jié)合部分，要選配結(jié)構(gòu)型的數(shù)學思想，如函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分數(shù)討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化。在所有數(shù)學建構(gòu)及問題的處理方面，注意體現(xiàn)其根本思想，如運用同解原理解一元一次方程，應(yīng)注意為簡便而采取的移項法則。
3、重視課堂教學實踐，在知識的引進、消化和應(yīng)用過程中促使學生領(lǐng)悟和提煉數(shù)學思想方法
數(shù)學知識發(fā)生的過程也是其思想方法產(chǎn)生的過程。在此過程中，要向?qū)W生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創(chuàng)設(shè)使認知主體與客體之間激發(fā)作用的環(huán)境和條件，通過對知識發(fā)生過程的展示，使學生的思維和經(jīng)驗全部投人到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰(zhàn)之中，從而主動構(gòu)建科學的認知結(jié)構(gòu)，將數(shù)學思想方法與數(shù)學知識融匯成一體，最終形成獨立探索分析、解決問題的能力。
概念既是思維的基礎(chǔ)，又是思維的結(jié)果。恰當?shù)卣故酒湫纬傻倪^程，拉長被壓縮了的“知識鏈”，是對數(shù)學抽象與數(shù)學模型方法進行點悟的極好素材和契機。在概念的引進過程中，應(yīng)注意：①解釋概念產(chǎn)生的背景，讓學生了解定義的合理性和必要性；②揭示概念的形成過程，讓學生綜合概念定義的本質(zhì)屬性；③鞏固和加深概念理解，讓學生在變式和比較中活化思維。
在規(guī)律（定理、公式、法則等）的揭示過程中，教師應(yīng)注意灌輸數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的探索性思維能力，并引導學生通過感性的直觀背景材料或已有的知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不過早地給結(jié)論，講清抽象、概括或證明的過程，充分地向?qū)W生展現(xiàn)自己是如何思考的，使學生領(lǐng)悟蘊含其中的思想方法。
數(shù)學問題的化解是數(shù)學教學的核心，其最終目的要學會運用數(shù)學知識和思想方法分析和解決實際問題。例如“平行四邊形的面積求法”的問題，通過探求解決問題的思想和策略，得到以化歸思想指導將思維定向轉(zhuǎn)化成求已知矩形的面積。這樣以問題的變式教學，使學生認識到求解該問題的實質(zhì)是等積變換，即要在保持面積不變的情形下實現(xiàn)化歸目標，而化歸的手段是“三角形位移”，由此揭示了解決問題的思維過程及其所包含的數(shù)學思想，同時提高了學生探索性思維能力。在數(shù)學知識的引進、消化和運用的過程中，要利用單元復習和階段性總結(jié)的時間，以適當集中的方式，從縱橫兩方面整理、概括和提煉出數(shù)學思想方法綱要和系統(tǒng)。以分散方式的滲透性教學為基礎(chǔ)，集中強化數(shù)學思想方法教育的形式，促使學生對數(shù)學思想方法由個別的具體感悟上升到一般的理性認識，這有利于提高教學效果。
4、通過范例和解題教學，綜合運用數(shù)學思想方法
一方面要通過解題和反思活動，從具體數(shù)學問題和范例中總結(jié)歸納解題方法，并提煉和抽象成數(shù)學思想；另一方面在解題過程中，充分發(fā)揮數(shù)學思想方法對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，舉一反三，觸類旁通，以數(shù)學思想觀點為指導，靈活運用數(shù)學知識和方法分析問題、解決問題。
范例教學通過選擇具有典型性、啟發(fā)性、創(chuàng)造性和審美性的例題和練習進行。要注意設(shè)計具有探索性的范例和能從中抽象一般和特殊規(guī)律的范例，在對其分析和思考的過程中展示數(shù)學思想和具有代表性的數(shù)學方法，提高學生的思維能力。例如，對某些問題，要引導學生盡可能運用多種方法，從各條途徑尋求答案，找出最優(yōu)方法，培養(yǎng)學生的變通性；對某些問題可以進行由簡到繁、由特殊到一般的推論，讓學生大膽聯(lián)系和猜想，培養(yǎng)其思維的廣闊性；對某些問題可以分析其特殊性，克服慣性思維束縛，培養(yǎng)學生思維的靈活性；對一些條件、因素較多的問題，要引導學生全面分析、系統(tǒng)綜合各個條件，得出正確結(jié)論，培養(yǎng)其橫向思維等等。此外，還要引導學生通過解題以后的反思，優(yōu)化解題過程，總結(jié)解題經(jīng)驗，提煉數(shù)學思想方法。
要引導學生把握知識的整體結(jié)構(gòu)，形成合理的數(shù)學模型，通過綜合運用數(shù)學思想方法，融會貫通各知識點和單元，建立一個以范例和習題為中心的知識網(wǎng)絡(luò)，縱向加深知識層次，橫向聯(lián)系以發(fā)展思維能力，形成全局性的數(shù)學思想方法。
綜合以上思考，我認為，初中數(shù)學思想方法教學應(yīng)以數(shù)學知識為載體，結(jié)合教學大綱和計劃，按照啟發(fā)、吸收、消化和發(fā)展的認識規(guī)律進行總體策劃，分階段、有步驟地貫徹實施。同時，要在教材的知識結(jié)構(gòu)和教學設(shè)計上不斷完善和豐富數(shù)學思想的理念和觀點，在數(shù)學知識與數(shù)學思想方法之間建立有機的結(jié)合，形成完整的系統(tǒng)。
責任編輯 黃浩軍
[參考文獻]
1、《數(shù)學教育學導論》 張奠宙,李士锜,李俊編著
2、《數(shù)學教育個案學習》 李仕奇編，華東師大出版社
3、《教育心理學》 邵瑞珍主編
4、《中學數(shù)學教學案例》 羅增儒，陜西師大出版社
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